1. Qualche nozione teorica indispensabile
Le righe che seguono sono fortemente influenzate – nella parte più teorica – dal fondamentale testo Chowning 73.
La modulazione di frequenza (FM) è una tecnica solidamente utilizzata nella radiocomunicazione; con questa tecnica, la frequenza di un segnale portante (Carrier) è controllata attraverso un segnale modulante (Modulator); l’intensità del trattamento, cioè l’energia con cui il segnale modulante influenza l’intonazione del segnale portante, è proporzionale all’ampiezza del segnale modulante. I parametri significativi sono quindi: l’intonazione del segnale portante, l’intonazione del segnale modulante, l’energia concessa al segnale modulante (se si preferisce: l’indice di modulazione).
2. Indice di modulazione
Se la modulazione non ha energia, cioè se l’indice di modulazione è pari a zero, non si verifica il fenomeno della Modulazione di Frequenza; quando l’indice di modulazione assume un valore diverso da zero, nel segnale portante si producono nuove componenti di frequenza disposte sopra e sotto l’intonazione originale del segnale; l’energia – cioè l’ampiezza – di queste nuove componenti è ricavata sottraendo energia al segnale puro portante (che risulterà quindi attenuato) e ridistribuendo questa energia sulle nuove componenti prodotte.
L’immagine, riprodotta da Chowning 73, mostra l’aumento delle nuove componenti armoniche che sono generate attraverso l’incremento dell’indice “I” di modulazione. Il livello della componente fondamentale “C” (carrier) si riduce a favore della generazione di armoniche collaterali (sideband) disposte simmetricamente a destra e a sinistra del segnale originale. (Nell’esempio, come sempre durante la discussione teorica, si fa riferimento a segnali portanti e modulanti composti da sinusoidi pure).
Anche se, in ambiente accademico, è possibile prevedere con esattezza l’energia di ciascuna nuova componente collaterale, facendo riferimento alla Funzione di Bessel del primo tipo dell’ennesimo ordine, nella pratica musicale quotidiana basta ricordare che la presenza e la quantità delle nuove armoniche collaterali create nel processo di FM Lineare è direttamente proporzionale all’Indice di Modulazione, cioè all’energia concessa/messa in gioco nel procedimento: maggiore è l’indice di modulazione, più significativa sarà la presenza delle nuove componenti timbriche.
L’immagine, sempre ricavata da Chowning 73, mostra le variazioni nell’ampiezza (valore verticale) del segnale Carrier e delle prime cinque armoniche in relazione alla variazione di indice di modulazione (valore orizzontale): quando crescono le ampiezze delle nuove armoniche, l’energia della fondamenta si abbassa. Il procedimento ha un andamento ciclico di distribuzione redistribuzione che alternativamente abbassa l’energia fondamentale per attivare le armoniche collaterali, poi ridimensiona le armoniche per restituire un poco di energia alla fondamentale, e così via. Una quantità numericamente significativa di armoniche collaterali è raggiungibile prevedendo un indice di modulazione quantitativamente significativo nel processo di FM Lineare (ovviamente, entro i limiti previsti dal costruttore). L’ampiezza di banda totale è approssimativamente uguale al doppio della somma della deviazione di frequenza e della frequenza modulante.
3. Fase delle armoniche collaterali
Nel procedimento di distribuzione/creazione delle armoniche collaterali, è facile raggiungere comportamenti differenziati per fase delle singole componenti; le componenti di segno negativo qualora risultassero di frequenza coincidente ad altre componenti di segno opposto causeranno un ridimensionamento energetico dovuto alla cancellazione seppure parziale.
L’immagine, sempre da Chowning 73, mostra l’informazione di fase invertita (-180°) per le due componenti di sinistra che si estendono sotto all’asse orizzontale. A seconda del tipo di software usato per la visualizzazione spettrale, a volte la rappresentazione bipolare viene ignorata e semplificata, riportando sempre e comunque tutte le componenti come appartenenti al solo dominio dei valori positivi.
Come accennato in precedenza, l’importanza della fase di ciascuna componente creata nel procedimento di FM Lineare giace proprio nella possibilità di sovrapposizione/attenuazione tra componenti positivi e negative di egual valore frequenziale; la FM Lineare opportunamente energizzata da un indice di modulazione significativo può produrre una grande quantità di nuove componenti collaterali (sideband) al segnale originale e la loro fase può quindi alterare in modo anche severo il risultato definitivo.
Partendo dal comportamento FM = C, C+M, C-M, con C e M che indicano rispettivamente le frequenze dei segnali portante e modulante (negli esempi seguenti, sempre limitati a pure sinusoidi mono componenti) e con M espresso per tutti i numeri interi compresi tra 1 e infinito (in base al valore dell’indice di modulazione), può essere comodo sviluppare qualche esempio per verificare coerenza e distribuzione delle diverse fasi nelle componenti armoniche generate.
Diamo come frequenza 100 Hz per il Carrier e 100 Hz per il Modulator; otteniamo:
C 100 Hz
C+M 200 Hz
C-M 0 Hz* C+2M 300 Hz
C-2M -100 Hz
C+3M 400 Hz
C-3M -200 Hz
C+4M 500 Hz
C-4M -300 Hz
* (una costante di corrente continua nella forma d’onda risultante) eccetera..
Di seguito, gli stessi valori ordinati per peso numerico, a prescindere dal segno:
0 Hz
100 Hz -100 Hz
200 Hz -200 Hz
300 Hz -300 Hz
400 Hz -400 Hz
500 Hz eccetera…
L’immagine, sempre da Chowning 73, mostra: a), la differenza di fase positiva/negativa per le componenti prodotte dalla FM Lineare partendo dai due valori C = 100 Hz e M = 100 Hz; b), lo spostamento grafico del componenti negative e il loro riposizionamento nel dominio dei valori positivi; c), il risultato grafico ottenuto pesando le rispettive ampiezze e ridimensionando le componenti positive dopo la sottrazione di energia in controfase.
4. Spettri armonici e inarmonici
Fintanto che il rapporto di frequenza tra Carrier e Modulator è espresso con numeri interi razionali, lo spettro risultante è armonico, cioè risulta composto da componenti il cui valore di frequenza aderisce al modello armonico.
Se il rapporto di frequenza tra Carrier e Modulator è espresso con numeri non interi con la virgola, lo spettro risultate è inarmonico; i valori di frequenza delle singole componenti escono dai rapporti armonici per produrre un risultato timbrico meno rassicurante, ma in ogni caso interessante.
Esistono dei comportamenti generalizzati facilmente prevedibili, cui fare riferimento nella pratica di programmazione in FM Lineare relativamente al rapporto C : M (ovvero, al rapporto tra la frequenza del segnale portante/Carrier e modulante/Modulator).
• C : M = 1 : 1 Lo spettro contiene tutte le componenti armoniche pari e dispari.
• C : M = 1 : 2 Lo spettro contiene le sole componenti armoniche dispari.
• C : M = 1 : 3 Lo spettro perde la terza armonica e tutte quelle multiple di tre.
• C: M = 1 : 1,x Lo spettro comprende frequenze inarmoniche.
L’immagine, da Chowning 73, mostra il risultato ottenibile tramite C : M = 1 : 1,414 (radice quadrata di 2). Le componenti riflesse (con la retta evidenziata dalla barra orizzontale) si posizionano su valori intermedi rispetto alle altre componenti armoniche.
C 100 Hz
C+M 100 + 114,1 Hz = 214,1 Hz
C-M 100 – 114,1 Hz = -14,1 Hz
C+2M 100 + 228,2 Hz = 328,2 Hz
C-2M 100 – 228,2 Hz = -128,2 Hz
C+3M 100 + 342,3 Hz = 442,3 Hz
C-3M 100 – 342,3 Hz = -242,3 Hz
C+4M 100 + 456,4 Hz = 556,4 Hz
C-4M 100 – 456,4 Hz = -356,4 Hz
100 Hz 214,1 Hz 382,2 Hz 442,3 Hz 556,4 Hz
-14,1 Hz -128,2Hz -242,3 Hz -356,4 Hz
5. Comportamento dinamico dello spettro armonico
La FM Lineare rivela tutta la sua potenza quando si afferra il comportamento dinamico attivabile nella sua implementazione di base: partendo dalla capacità di incrementare l’ampiezza di banda generata in diretto rapporto con la crescita dell’indice di modulazione, è possibile scrivere comportamenti di automazione per l’indice di modulazione ovvero per le variazioni di livello nel tempo affidate al segnale modulante.
6. Implementare la FM Lineare in un sistema gestibile dall’utente
In origine, la Modulazione di Frequenza Lineare è stata messa a punto su un computer PDP-10 e poi implementata per funzionare con il linguaggio MUSIC-V2 (Oltre alle normali ricerche in rete sullo storico linguaggio MUSIC-V, si veda: Max W. Mathews, The Technology of Computer Music, The MIT Press, Boston, 1969).
Il vecchio programma MUSIC-V3 era organizzato per unit generator liberamente combinabili tra loro e governabili con una serie di parametri P1-Px assegnati dall’utente che caratterizzano nel tempo il funzionamento di ciascuna unità di generazione (i parametri P1, P2, P3 erano riservati rispettivamente a beginning time, instrument number e duration di ciascuna nota).
Nell’immagine qui sopra, riprodotta – come sempre – da Chowning 73, è visibile il collegamento in algoritmo della u.g.3 il cui segnale audio sinusoide è collegato all’uscita del sistema (il suo ruolo, è quindi quello di segnale portante); attraverso parametro P4, si regola il volume AMPLITUDE nel tempo e si descrive durata e articolazione del segnale audio.
L’intonazione del segnale portante è il risultato della somma (effettuata dentro u.g.2 adder) di un valore iniziale P5 CARRIER FREQ. con il segnale audio prodotto dal blocco u.g.1 modulante (che non va in audio, ma che influenza per modulazione di frequenza il comportamento timbrico di u.g.3).
L’intonazione del segnale modulante è definita dal parametro P6 MODULATING FREQ e P7 FREQUENCY DEVIATION.
Dal momento che, con I: indice di modulazione, d: deviazione di picco e m: frequenza del modulante Index = d/m, si ottiene I = d/m, si ricava d = Im. Se, ad esempio I raggiunge un massimo di “4” e la modulator frequency è 100 Hz, si ottiene la d peak deviation pari a 400 Hz.
Per poter controllare dinamicamente il risultato, è necessario espandere il circuito originale arrivano alla struttura riprodotto nell’immagine.
I nuovi generatori di funzione u.g.4 e u.g.5 controllano rispettivamente l’articolazione e la durata nel tempo dei segnali prodotti dalle u.g.3 (carrier) e 1 (modulator). In questo modo, diventa possibile ottenere spettri armonici cangianti nel tempo (intervento di enveloping sulla consistenza dell’uscita per il segnale prodotto dal modulante u.g.1 e articolazioni/durate di nota vere e proprie (intervento di enveloping applicate da u.g.4 sull’ampiezza del portante u.g.3). A livello di curiosità storica, riportiamo le attribuzioni dei parametri P1-P8 attivati all’interno della struttura appena riprodotta:
• P1 = Begin Time of Instrument
• P2 = Instrument Number
• P3 = Duration of the note
• P4 = Amplitude of the output wave
• P5 = Carrier Frequency
• P6 = Modulationg Frequncy
• P7 = Modulation Index 1, I1
• P8 = Modulation Index 2, I2
7. Dall’implementazione originale alle incarnazioni commerciali
Avremo modo di vedere come, conseguentemente al forte contributo Yamaha, i concetti finora affrontati risulteranno più facilmente integrabili parlando di:
• Operatore Portante = l’insieme di generatore (inizialmente solo sinusoide), regolabile in volume e frequenza iniziali, automatizzabile come durata/articolazione nel tempo grazie a un sistema amplificatore/envelope, predisposto per ricevere il segnale fm prodotto da un secondo operatore modulante. (Vedi sotto).
• Operatore Modulante = come il precedente, l’insieme di generatore (inizialmente solo sinusoide), predisposto per la specifica iniziale di frequenza e volume, e integrato ad un amplificatore con envelope generator dedicato. A differenza dell’operatore Portante, il suo segnale audio non è collegato al sistema di ascolto.
• Algoritmo = la descrizione dei collegamenti tra i diversi “operatori” e, quindi, l’attribuzione dei ruoli Portante/Modulante per ciascuno degli elementi presenti nell’algoritmo stesso.
• Feedback = la condizione di “auto-modulazione” attivata quando un generatore/operatore preveda l’uso del suo stesso segnale audio come sorgente di modulazione FM Lineare per se stesso.
Di seguito, adotteremo le terminologie mediate dall’esperienza Yamaha. Anche se, nel vecchio mondo analogico, Don Buchla aveva già implementato una forma di FM esponenziale sufficientemente funzionale nei suoi moduli Dual Oscillator e nel Music Easel, così come implementazioni relativamente potenti erano state attivate nel sintetizzatore semimodulare ARP 2600, il brevetto Yamaha sulla FM (datato 1977 ) ha di fatto monopolizzato l’uso commerciale della FM Lineare fino alla sua scadenza naturale, nel 1995. In quel periodo, comunque, Casio aveva ottenuto risultati abbastanza simili attraverso la tecnica di sintesi denominata Phase Distortion (implementata nei modelli CS-Series). In ogni caso, nonostante una quantità numericamente significativa di incarnazioni, reinterpretazioni, adattamenti HW/SW, i concetti di base della FM Lineare (nonostante le oggettive differenze tecniche tra le diverse versioni di FM Lineare canonica, Phase Modulation, Phase
Distortion e Quadrature Amplitude Modulation) rimangono validi come riferimento funzionale per apprendere in modo sicuro i meccanismi più sottili della produzione timbrica.
Le cose vengono pesantemente messe in discussione quando, in tempi recenti, KORG commercializza il modello hardware/software OPSIX Altered FM Synthesizer.
8. Rendere meno complicata la teoria
Di seguito, riprendiamo le impostazioni e le grafiche particolarmente efficaci sviluppate da Jeffrey Hass per il Center for Electronic and Computer Music, Indiana University.
9. Calcolare la frequenza delle armoniche collaterali (sidebands)
Le frequenze delle sideband possono essere calcolate facendo riferimento alla formula FM = C, C+M, C-M dove C è la frequenza del segnale Carrier, e M è la frequenza del segnale Modulator, per M compresa tra 1 e infinito, nel dominio dei numeri interi.
Se, ad esempio, la frequenza dell’operatore Carrier è pari a 400 Hz e quella dell’operatore Modulator è pari a 50 Hz, si otterranno le componenti sideband di frequenza pari a 400, 450, 350, 500, 300, 550, 250, 600, 200, 650, 150, 700, 100, eccetera.
Se scriviamo tutte le componenti per ordine crescente, otteniamo: 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500, 550, 600, 650, 700 Hz. Come è facile immaginare, la qualità di un timbro non dipende solo dalle sue componenti, ma anche dall’energia che ciascuna possiede all’interno del segnale principale.
Noi sappiamo che le armoniche collaterali risulteranno simmetricamente distanti dall’intonazione del segnale Carrier in base al comportamento C+M e C-M, quindi maggiore l’intonazione originale di M, più distanti risulteranno le due componenti dal segnale originale C; il numero raggiunto sopra e sotto la frequenza originale è chiamato deviazione di picco (o delta).
Maggiore è l’energia del segnale modulante, più elevata sarà la quantità di coppie C+M e C-M generate nel processo di FM Lineare (e, conseguentemente, le due coppie più estreme risulteranno intonate su valori sempre più distanti dalla frequenza originale C aumentando la deviazione di picco).
L’energia del segnale modulante è intensificata con l’indice di modulazione.
L’indice di modulazione è ottenuto dividendo la deviazione di picco per la frequenza del modulante. Modulation Index [I] = Pak Deviation [DeltaF] / Modulating Frequency [Mf]
La grafica riproduce le variazioni dinamiche tra le diverse componenti sideband quando, tra due operatori C ed M, viene fatto variare l’indice di modulazione. Quando l’indice I cresce di livello – asse orizzontale del grafico – ciascuna componente vede una variazione di livello com quella riportata nel grafico (fare riferimento al codice colore di questa immagine e della precedente).
Si noti come si produca una cessione di energia dal segnale portante alle sideband e, periodicamnte, da queste al portaante. (In natura, nulla si crea e nulla si distrugge.) Il grafico è, a tutti gli effetti, la rappresentazione della funzione di Bessel del primo tipo dell’ennesimo ordine.
10. Suggerimenti “indispensabili” per la programmazione timbrica con la FM Lineare in ambito commerciale
- Per dare corpo al suono FM, identificare un algoritmo che offra due modulanti attivi sullo stesso portante; copiare le regolazioni tra i due modulanti e successivamente diversificare in forma minima l’intonazione del secondo modulante rispetto al primo. L’intensità dello sfasamento timbrico – assimilabile ad un energico chorus – può essere dosata rallentando i battimenti tra i due operatori modulanti e riducendo il livello di uscita dell’operatore modulante “scordato”.
- Per dare corpo al suono FM, portare in Fixed Mode uno di più operatori modulanti simultanei e regolare la sua frequenza su valori sufficientemente bassi da poterlo far lavorare come “LFO applicato al timbro.
- Per rinforzare il suono FM con una suboscillazione, portare il valore di intonazione dell’operatore modulante alla metà di quello usato per l’operatore portante. Se si preferisce ragionare con i rapporti di frequenza, è necessario raggiungere la condizione C : M = 1 : 0.5 (oppure, C : M = 1 : 2).
Questo articolo è stato redatto da Enrico Cosimi, docente nei corsi di: Sintesi & Campionamento e Sintesi Analogica Avanzata
